Kollats gipotezasi

Matematikaning Eng "Xavfli" Jumboqlari: Kollats Gipotezasi Haqida

Kollats gipotezasi (ko‘pincha adashib Kollats teoremasi ham deyiladi) — matematikadagi eng mashhur, eng sodda tushuntiriladigan, ammo hali ham yechimini topmagan eng qiyin muammolardan biridir. Uni 1937-yilda nemis matematigi Lotar Kollats (Lothar Collatz) taklif qilgan. Bu muammoning qoidasi boshlang‘ich sinf o‘quvchisiga ham tushunarli bo‘lsa-da, qariyb bir asrdan beri dunyoning eng kuchli miyalari ham uni to‘liq isbotlay olmayapti.

━━━━━━━━━━━━━━

Algoritm Qoidasi

Istalgan musbat butun sonni (n) tanlang va quyidagi ikki qoidani cheksiz ravishda ketma-ket bajaring:

1. Agar son juft bo‘lsa: Uni 2 ga bo‘ling:

n / 2

2. Agar son toq bo‘lsa: Uni 3 ga ko‘paytirib, 1 ni qo‘shing:

3n + 1

Gipotezaning asosiy mazmuni shundan iboratki: Qanday musbat butun sonni tanlamang, ushbu zanjir baribir 1 soniga borib taqaladi. Son 1 ga yetgandan keyin esa cheksiz aylanma halqaga (loop) tushib qoladi: 1 -> 4 -> 2 -> 1.

━━━━━━━━━━━━━━

Amaliy Misol: 7 Sonining Sarguzashtlari

Keling, kichkina 7 soni ushbu qoidalar ostida qanday qilib keskin ko‘tarilib-tushishini va oxiri 1 ga aylanishini ko‘ramiz:

• 7 (toq) -> 7 3 + 1 = 22*
• 22 (juft) -> 22 / 2 = 11
• 11 (toq) -> 11 3 + 1 = 34*
• 34 (juft) -> 34 / 2 = 17
• 17 (toq) -> 17 3 + 1 = 52*
• 52 (juft) -> 52 / 2 = 26
• 26 (juft) -> 26 / 2 = 13
• 13 (toq) -> 13 3 + 1 = 40*
• 40 (juft) -> 40 / 2 = 20
• 20 (juft) -> 20 / 2 = 10
• 10 (juft) -> 10 / 2 = 5
• 5 (toq) -> 5 3 + 1 = 16*
• 16 (juft) -> 16 / 2 = 8
• 8 (juft) -> 8 / 2 = 4
• 4 (juft) -> 4 / 2 = 2
• 2 (juft) -> 2 / 2 = 1

To‘liq zanjir:

7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Bu zanjirdagi sonlar bo‘ron paytidagi do‘l donalaridek goh yuqoriga otilib, goh pastga qulagani uchun ularni matematikada jozibador qilib "do‘l sonlari" (hailstone numbers) deb ham atashadi.

━━━━━━━━━━━━━━

Nega Uni Isbotlash Shunchalik Qiyin?

Gipoteza to‘g‘ri ekaniga shubha deyarli yo‘q, ammo matematik aniqlik uchun faqatgina misollar kifoya qilmaydi. Muammoning qiyinchilik jihatlari quyidagilarda:

• Kompyuterlar ojizligi: Superkompyuterlar hozirgacha *2.36 10^21** (2.36 sekstillion) gacha bo‘lgan barcha sonlarni birma-bir tekshirib chiqdi. Ularning barchasi oxiri 1 ga borib taqaldi. Ammo matematikada cheksiz sonlar mavjudligi sababli, trillionlab misollar ham mutloq isbot bo‘la olmaydi. Negadir biror bir o‘ta ulkan son ushbu qoidadan mustasno bo‘lishi yoki cheksiz o‘sib ketishi mumkin degan xavotir bor.
• "Xavfli" va chalg‘ituvchi muammo: Mashhur venger matematigi Pol Erdyosh bir safar: "Matematika hali bunday muammolarni yechish darajasiga yetgani yo‘q", deb tan olgan. Uni ko‘pincha akademik doiralarda "xavfli" deyishadi. Chunki qoidasi sodda ko‘ringani bois, ko‘plab yosh olimlar uni yechishga kirishib, o‘z yillarini va karyeralarini bekorga sarflab yuborishadi.

━━━━━━━━━━━━━━

Zamonaviy Matematika va So‘nggi Yangiliklar

Yuz yillik turg‘unlikdan so‘ng, 2019-yilda dunyoning eng nufuzli matematiklaridan biri, Filds medali sohibi Terens Tao (Terence Tao) ushbu gipoteza yo‘nalishida ulkan inqilob qildi.

U o‘zining ilmiy ishida Kollats gipotezasi deyarli barcha sonlar uchun "deyarli to‘g‘ri" (almost all numbers) ekanligini ilg‘or ehtimollar nazariyasi orqali isbotladi. Bu hozirgacha insoniyat erishgan eng yaqin natija hisoblanadi. Shunga qaramay, mutloq va yakuniy nuqtani qo‘yuvchi isbot hali ham kashf etilganicha yo‘q.

Kollats gipotezasi bizga oddiy arifmetika ortida ham koinot kabi murakkab va ochilmagan sirlar yashirinishi mumkinligini eslatib turadi.